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Urdaneta
18:47 el 07 diciembre 2010

2 aplicaciones cuantitativas: Minimizar el riesgo asegurando un rendimiento esperado mínimo (Markowitz)

Carteras de activos

El modelo

La construcción de carteras de inversión (Θ) es, en esencia, la tarea del inversor. Por ello hemos desarrollado dos algoritmos informáticos que proporcionan estas carteras en base al criterio de minimizar el riesgo de la inversión, medido a través de la varianza de la cartera (Θ'ΩΘ), una vez elegido el rendimiento o valor de la cartera deseado (Vmin). En concreto, el problema que deseamos resolver es:

                minΘΘ'ΩΘ

                sujeto a

                  Θ'S0≤M
                  Θ'P≥Vmin                  Θ≥0

 

Algunas aclaraciones sobre la notación: M es el importe que se desea invertir al principio del periodo, S0 es un vector que recoge los precios iniciales de los activos en los que se desea invertir y P es una predicción de cuál se cree que será la evolución de los precios de los activos al final de periodo.

Mención especial merece la última restricción. En principio, el número de acciones invertidas en cada activo debe ser positiva. Esta restricción ha de anularse si el inversor tiene capacidad de vender al descubierto.

La cuestión clave es el vector de predicciones P. Elegimos dos formas de obtener el predictor: a través de la media de los últimos días (algoritmo MinVarianza) y mediante una serie ARIMA (algoritmo MinVARMA).El primer método tiene como principal dificultad determinar a cuántos días debe tomarse la media, es decir, cuántos días anteriores a la fecha de pronóstico son significativos. Esta tarea se puede programar simplemente imponiendo un número de días máximo y repitiendo el mismo algoritmo para cada cantidad de días inferior al máximo. Aquella cantidad que haya dado una cartera de mayor valor final debe ser la elegida.

El segundo método, el de ajustar una serie ARMA(p,q) a los rendimientos, conlleva varios problemas. Lo primero es la determinación de si el modelo se aplica conjuntamete a todos los valores de la cartera, lo que significa que  si hay n activos debemos estimar n(np+q) parámetros, o si se considera un ajuste univariante, lo que implica tan sólo estimar n(p+q) parámetros. El primer caso es enormemente exigente en capacidad de computación, lo que sugiere hacer un análisis de componentes principales para reducir, previamente, el número de activos relevantes.  Por otra parte, supone disponer de un gran volumen de datos. En ambos casos es necesario un criterio para discriminar cuando una elección (p,q) es mejor que otra. Utilizamos el reconocido criterio de Akaike.

Primera aplicación:
Urdaneta(Predictor: Media) contra EuroStoxx50 del 01/06/2010 al 18/11/2010.
 

Para estudiar la bondad de los modelos decidimos calcular cuál sería el valor final de invertir diariamente y a lo largo de 100 días una cartera de valor inicial (01/06/2010) M=1000 en los activos que componen el EuroStoxx50 y compararla con la evolución del índice. Como rendimiento diario deseado pedimos un 5%. El primer gráfico sirve para comparar muy clarmaente las trayectorias. Adjuntamos en una hoja de cálculo, asimismo, la proporción del valor de la cartera invertida en cada activo cada día.

 Lo primero que destacamos es el rendimiento final superior de Urdaneta, 1281 por 1127. Es decir, el rendimiento final de la inversión es del 28% por un 13% de la cartera que compone el EuroStoxx50. Bien es cierto que esta situación no se repite siempre a lo largo del periodo. No es hasta el 11 de octubre que la cartera de Urdaneta supera de forma permanente al índice europeo. Anteriormente, se suceden una a otra sin una clara tendencia.

La cartera nunca desciende más de un 5% por debajo de su valor inical, el mínimo se alcanza el 25 de agosto con un valor de 957, y logra su máximo al final del periodo con 1281.

Su perfil de riesgo es similar aunque algo inferior al del EuroStoxx50 como puede verse en el gráfico siguiente.

 Existe un pico en el riesgo el día 7 de octubre: 8.69%. El resto de días se mantiene por debajo del 3%, con una media de 2.26%. Esto significa que la cartera toma menores riesgos que el índice ya que su media se sitúa en  2.67% y tiene picos que rozan el 10%.

Segunda aplicación:
Urdaneta con vental al descubierto (Predictor: Media) contra EuroStoxx50 del 01/06/2010 al 18/11/2010.
 

La venta al descubierto es una actividad habitual en los mercados financieros. Por ello la implementamos como opción en el modelo. Aún así imponemos cierto límite a la capacidad de vender al descubierto. En concreto fijamos un endeudamiento máximo por venta al descubierto de un 60% del valor inicial de la cartera. Es decir, las posiciones al descubierto no pueden tener un valor superior al 60% de la cantidad que se desea invertir cada día. Esto es necesario porque la cartera óptima podría suponer vender cantidades ingentes al descubierto y, con ese dinero, comprar otras tantas cantidades ingentes de los otros valores. Por ser esta estrategia poco factible optamos por acotar las posibilidades de venta al descubierto del modo que acabamos de describir.

En el tercer gráfico puede verse como Urdaneta supera con creces, al final del periodo, la evolución del EuroStoxx50. En concreto 1424 frente a 1127. Esto representaría una rentabilidad del 42.4% frente a la del EuroStoxx50 que reondaría el 13%.

También es cierto que Urdaneta muestra un comportamiento más volátil. Lo que se traduce en que no supera de forma definitiva al índice de mercado hasta el 1 de septiembre. Si tomamos por fecha límite alguna de las anteriores, el comportamiento de Urdaneta también suele ser superior aunque termine por existir siempre algún día en que ambos se igualan.

Otra consecuencia de esta volatilidad es que no se observa un crecimiento equilibrado sino una trayectoria con bastantes altibajos aunque, prácticamente siempre, con rendimientos positivos. Así, se puede observar un pico el 10 de agosto en 1443 y una caída el 27 del mismo mes hasta 1069. No se recuperan niveles similares al máximo hasta el final del periodo de estudio.

El valor promedio de la cartera a lo largo de los 100 días es de 1194, lo que significaría un rendimiento medio del 19%. Ya hemos comentado cuál es el valor máximo, 1443, y podemos citar, asimismo, que el valor mínimo es de 984, valor que se alcanza el 8 de julio tras 6 días de inversión.

 En cuanto al riesgo diario oscila entre menos de un 1% y algo más de un 26% del valor de la cartera inicial con una media un ligeramente inferior al 4.5%. El valor máximo no es habitual y, no extrañamente, los dos valores máximos de riesgo coinciden con la mayor subida, la que proyecta el valor de la carera hasta los 1443, y la mayor bajada, la que disminuye el valor hasta los 1069.

El cuarto gráfico compara el riesgo de la cartera con el del índice y establece claramente que el modelo asume uno mayor. De hecho, en términos medio, el EuroStoxx50 muestra un riesgo del 2.7%, por lo tanto, un 1.8% inferior. Además, oscila entre un 0.4% y un 10%, un intervalo también inferior al de Urdaneta.

 

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